八點(diǎn)，試卷分發(fā)。

試題與昨天也沒(méi)有太大的變化，同樣是三道題。

一旦進(jìn)入做題狀態(tài)，李澤翰瞬間收斂起所有心思，專注看向題目，仿佛換了個(gè)人。

這道題題目還是很好理解的，意思是說(shuō)，有2025個(gè)核桃被打亂了，放在一個(gè)圓周上，每個(gè)位置核桃的編號(hào)是已知的。

然后在接下來(lái)的2025次操作中，每次操作第k個(gè)核桃的左右兩個(gè)核桃，要證明必然存在某一次，k個(gè)核桃兩邊核桃編號(hào)，一個(gè)比k大，一個(gè)比k小。

看到這道題，李澤翰心中就已經(jīng)有了思路。

初中就學(xué)過(guò)，遇到存在性問(wèn)題的證明，第一時(shí)間應(yīng)該想到反證法。

假設(shè)這2025次操作中，k兩邊的核桃編號(hào)都比k大，或者都比k小。

這種關(guān)系是比較難描述的，這個(gè)時(shí)候，自然而然的就能想到染色法。

這也是在解決存在性問(wèn)題時(shí)的常用方法，染色之后，就能對(duì)構(gòu)成的點(diǎn)線面角等進(jìn)行數(shù)量和性質(zhì)進(jìn)行分析，以此來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，讓問(wèn)題變得更直觀。

對(duì)應(yīng)到這道題，可以在第k次操作中，對(duì)第k個(gè)核桃進(jìn)行染色，比如，染成黃色。

這樣操作之后，所有小于k的核桃都會(huì)被染成黃色，而大于k的核桃則都沒(méi)有被染色，這樣就能清晰的區(qū)分大于k和小于k的兩類核桃。

最后的證明也就變成了，證明在這2025次操作中，必然存在某一次操作，交換了兩個(gè)顏色不同的核桃。

再使用反證法，假設(shè)每次操作交換的都是同色的核桃。

“那么，這樣做最后能導(dǎo)出什么樣的矛盾呢？”

李澤翰皺眉思考起來(lái)。

最開(kāi)始所有的核桃都沒(méi)有被染色，操作完成之后，所有的核桃都被染成了黃色。

這中間存在一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換。

如果只是一個(gè)個(gè)的核桃進(jìn)行染色，自然是沒(méi)問(wèn)題的，但現(xiàn)在是染色，加上交換同色的核桃，這很可能導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)換的失敗。

再加上題目要求證明，那么顯然，這個(gè)染色加同色交換的操作會(huì)導(dǎo)致染色失敗。

短暫的思考后，李澤翰找到了解題的關(guān)鍵。

但還缺了關(guān)鍵一步。

怎么證明染色會(huì)失敗呢？

李澤翰冥思苦想。

顯然，光是染色核桃還不夠，這很難證明最終的結(jié)論。

“我知道了！”

在腦海中一陣推導(dǎo)演算之后，李澤翰腦中靈光一閃。

光是染色核桃不夠，那就再把相鄰核桃的連接邊也染色，可不就大功告成了嗎！

如果相鄰兩個(gè)核桃都是黃色的，就把連接兩個(gè)核桃的邊也染成黃色。

所以一開(kāi)始，所有的邊都是沒(méi)有染色的，2025次操作結(jié)束后，所有的2025條邊都是黃色的。

如果每次交換的核桃都是同色的，那么第k個(gè)核桃和與他相鄰的兩條邊的顏色并不會(huì)發(fā)生變動(dòng)，交換這個(gè)操作不會(huì)引起任何狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。

只有對(duì)第k個(gè)核桃進(jìn)行染色，可能導(dǎo)致邊顏色的變化，如果相鄰兩個(gè)核桃是未被染色的，那么這次染色操作不會(huì)帶來(lái)邊的變化，如果兩個(gè)核桃都被染色，那么就有多出兩條被染色的邊。

也就是說(shuō)，每次操作要么增加0條染色的邊，要么增加2條染色的邊，不可能出現(xiàn)2025條奇數(shù)邊的情況，與題設(shè)矛盾，證明完成！

“我真是個(gè)天才！”

李澤翰心中嘿嘿怪笑，即便他心中也明白，這道題也就初中難度，只要掌握了方法，很輕易就能做出來(lái)，但并不妨礙他覺(jué)得自己超棒。

回頭看了眼時(shí)間，距離八點(diǎn)才過(guò)去二十多分鐘。

整個(gè)題目思路還是很清晰的，他大多數(shù)時(shí)間都浪費(fèi)在思考怎么證明最后的矛盾上了，但二十多分鐘，這個(gè)速度已經(jīng)極快了。

一念及此，他下意識(shí)的抬頭向陳輝的位置看去。

然后，他就聽(tīng)到了嘩啦一聲翻卷的聲音！

“？”

“老大都開(kāi)始做第三題了？”

“我頂你個(gè)肺！”

李澤翰已經(jīng)不知道該怎么形容自己此時(shí)的心情。

老實(shí)說(shuō)，即便已經(jīng)認(rèn)清了自己不可能跟那種怪物比的事實(shí)，但當(dāng)這種殘酷的事實(shí)發(fā)生在眼前時(shí)，他還是會(huì)感受到打擊。

但真正的勇士，敢于直面慘淡的人生，敢于正視淋漓的鮮血！

“我李澤翰是沒(méi)那么容易被打倒的！”

振奮精神，李澤翰看向第二題。

題目很簡(jiǎn)潔，也很漂亮，要證明的結(jié)論含義也很清楚，就是數(shù)列兩項(xiàng)的差值，要小于n的階乘分之一，同時(shí)n大于等于2。

看到不等式，小學(xué)生……哦，不，初中生就應(yīng)該知道，應(yīng)該使用構(gòu)造法！

構(gòu)造法主要是通過(guò)引入恒等式，對(duì)偶式，函數(shù)，圖形，數(shù)列，讓題目變得更直觀，如果不等式中出現(xiàn)了n這種有規(guī)律的項(xiàng)，這個(gè)時(shí)候就要想到數(shù)列了。

比如證明數(shù)列項(xiàng)之和，這個(gè)時(shí)候就應(yīng)該想到構(gòu)造一個(gè)移項(xiàng)相減的新數(shù)列，然后去分析新數(shù)列的單調(diào)性。

對(duì)應(yīng)這道題，n次冪的形式，則是可以把不等式兩邊拆分成n個(gè)相同，或者有通式的式子的乘積，再去比較大小。

李澤翰思路自然涌現(xiàn)，他這些年專攻中學(xué)數(shù)競(jìng)，這些基礎(chǔ)知識(shí)無(wú)比扎實(shí)，幾乎看到題目的瞬間，腦海中就已經(jīng)浮現(xiàn)出了解題思路，只是還需要時(shí)間去將這些思路轉(zhuǎn)化成最后的答案而已。

根號(hào)在不等式中顯然是扎眼的，所以可以考慮先處理它，通過(guò)觀察，能夠輕易的發(fā)現(xiàn)，對(duì)式子左邊每一項(xiàng)單獨(dú)平方、立方……就能去除掉根號(hào)。

這就很容易能夠想到a^(2*3*……*n)-b^(2*3*……*n)這種形式，即可將全部根號(hào)去除，并且相減后能消去多余的項(xiàng)，得到(n 1)√(n 1)。

那么就需要構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，ai=

bi=

所以題目要求的不等式就是a2-b2，同時(shí)a(i 1)-b(i 1)=(ai)^i -(bi)^i=(ai-bi)(ai^(i-1) ai^(i-2)bi …… aibi^(i-2) bi^(i-1))

(ai)^i -(bi)^i的冪次展開(kāi)是有現(xiàn)成公式的，任何一個(gè)高中生都應(yīng)該記得這個(gè)展開(kāi)，同時(shí)因?yàn)閮绱握归_(kāi)后面的式子是有規(guī)律的，所以可以將它記作Cn。

所以有，

a3-b3=(a2-b2)c2

a4-b4=(a3-b3)c3

……

a(n 1)-b(n 1)=(an-bn)cn

將式子兩邊相乘，約去相同的項(xiàng)，就能得到a(n 1)-b(n 1)=(a2-b2)(c2*c3……cn)，所以(a2-b2)=[a(n 1)-b(n 1)]/(c2·c3……cn)。

而a(n 1)-b(n 1)=(an)^n -(bn)^n，所以a(n 1)-b(n 1)=(a2)^(n*n-1……3*2)-(b2)^(n*n-1……3*2)=(n 1)√(n 1)

最后再來(lái)處理Cn。

這種式子，李澤翰根本不用思考就能知道需要用到放縮。

因?yàn)閍n>bn≥n√n=n^(1/n)

所以an^(n-1) an^(n-2)bn …… anbn^(n-2) bn^(n-1)式子中每一項(xiàng)都大于等于n^((n-1)/n)，而Cn有n項(xiàng)，所以cn≥n*n^((n-1)/n)>n*n^((n-1)/(n 1))。

這時(shí)再回到剛才的式子，c2*c3……cn=n!*（一坨），當(dāng)n>2時(shí)，n^((n-1)/(n 1))都是大于1的，所以可以只保留第n項(xiàng)，即c2*c3……cn=n!*n^((n-1)/(n 1))。

所以，a2-b22時(shí)，前面的式子小于2n/n^2